Relasi

Sebelum membahas tentang relasi, kita ingatkan kembali tentang pergandaan himpunan yang di definisikan sebagai : AxB= {(x,y) /xAyB}

Jadi himpunan A xB mempunyai anggota semua pasangan terurut (x,y) dengan x sebagai urutan pertama dan y urutan yang kedua. Jika (x,y) A xB maka p(x,y) merupakan fungsi pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya. Dan p(x,y) ini juga merupakan kalimat tebuka dengan dua perubah.

Contoh :

Misalnya himpuna A = { pria }, himpunan B = { wanita } dan p(x,y) = “x suami y”

Maka p(Yohanes, Aminah) merupakan pasangan pria dan wanita yang mempunyai nilai kebenaran berdasarkan kenyataan yang ada (realitas).

Pengertian Relasi

Berdasarkan pengertian uraian di atas dan dari contoh, maka jika p(a,b) bernilai benar dikatakan bahwa “a berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai a R b. Sebaliknya jika p(a,b) bernilai tidak benar (salah) dikatakan bahwa “a tidak berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai aR b Dengan demikian suatu relasi R membutuhkan adanya suatu fungsi pernyataan p(a,b) yang mendefinisikan suatu relasi dari A ke B.

Ada penulis yang menyebut fungsi pernyataan p(x,y) sebagai relasi.

Definisi

Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sembarang subset dari A x B, termasuk himpunan kosong. Yaitu R Í A x B. Relasi R ini dinyatakan sebagai :

R = { (a,b) / a berelasi dengan b }

= { (a b) / a R b }

Relasi R dari himpunan A ke himpunan B juga dikatakan sebagai Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A x B, sehingga dikatakan “a berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b) Î R . Jika dikatakan “a tidak berelasi dengan b” ditulis aR b atau (a,b) Ï R. Relasi dari himpunan A ke himpunan A (ke dirinya sendiri) disebut relasi pada A atau a R a.

 

Relasi R dikatakan “determinatif” pada A jika untuk setiap a dan b berada dalam A. Misalkan A = himpunan bilangan-bilangan alam, maka relasi “kelipatan” adalah relasi yang determinatif. Sedangkan relasi “mencintai” adalah tidak determinatif, sebab pernyataan “9 mencintai 3” tidak bernilai benar atau bernilai salah. Dalam hal ini yang dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif saja.

Suatu relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan R suatu relasi dari A ke B. Jadi R adalah himpunan pasagan- pasangan elemen-elemen (a,b) dimana a  A dan bB, dan R merupakan himpunan bagian dari A x B.

Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu :

D = { a / a A, (a, b) R }

Jangkauan/range dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu

E = { b / bB, (a, b)  R }

Jadi domain suatu relasi dari A ke B ditulis D , merupakan himpunan bagian dari A yaitu D Í Adan jangkauan dari R ditulis E adalah himpunan bagian dari B, yaitu E Í B.

 

Contoh :

Diketahui :  A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} .

Maka R = {(2, a), (3, c), (4, a)} adalah suatu relasi.

Perhatikan bahwa R Í A x B

Domain dari R = D = {2, 3, 4}

Jangkauan dari R = E = {a, c}

Contoh :

Misalkan relasi R dalam bilangan-bilangan riil didefinisikan oleh kalimat terbuka “4x2 + 9y2 = 36”. Relasi R ditunjukkan pada diagram koordinat R # x R # dibawah ini :

 

R#  adalah himpunan semua bilangan-bilangan riil. Domain dari R adalah selang tertutup [-3, 3] dan jangkauan dari R adalah selang tertutup [-2, 2].

                  Untuk setiap pasangan dua himpunan A dan himpunan B, selalu berlaku A Í B atau A Ë B atau sebaliknya.

                  Perkawinan merupakan suatu relasi dari himpunan Pria (=P) ke himpunan wanita (=W) dalam semesta himpunan orang-orang. Jika ada seorang pria P makaberlaku bahwa P telah menikah dengan W atau P tidak menikah dengan W.

                  Kalimat “x lebih kecil dari y” ditulis x < y adalah suatu relasi pada himpunan bilangan-bilangan riil. Jika diberikan pasangan terurut (x,y) maka selalu berlaku x < y atau x </ y atau juga sebaliknya.

                  Misalkan R suatu relasi dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b} dengan R = {(1, a), (1, b),(3,a)}, maka 1Ra, 2b, 3Ra dan 3b

Relasi R dapat ditunjukkan dengan diagram koordinat A x B berikut ini :

 

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

R Í A x B

R = {(1, a), (1, b), (3, a)}

               Ambil himpunan A = {1, 2, 3} seperti di atas. Relasi R pada A adalah himpunan semua pasangan dalam A x A. Disini R = A x A.

Relasi Identitas

Relasi identitas pada himpunan A ditulis IA atau A adalah himpunan pasangan-pasangan (a, a) dengan a  A, ditulis IA = {(a, a) /a  A}. Relasi identitas ini juga disebut relasi diagonal, sebab anggota-anggota dari relasinya merupakan diagonal dari diagram koordinatnya.

 

Misalkan A = {1, 2, 3}

A x A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1),

(3, 2), (3, 3)}

IA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Relasi Kosong

Relasi kosong dari himpuanan A ditulis  , adalah himpunan kosong dari A x A . Dimaksud relasi disini adalah himpunan kosong dari A x A.

Contoh :

A =  maka A x A =

R suatu relasi dari A ke A adalah R Í A x A

R =

Relasi Invers

Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R ditulis adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada  jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R.

Jadi = {(b,a) / (a,b) Î R}

Contoh :

Relasi R pada A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)},

maka  = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}

Representasi Relasi

            Suatu relasi dapat presentasikan  dalam berbagai cara, diantaranya melalui grafik pada bidang XOY, tabel, melalui matriks dan melalui graf.

 

 Penyajian dalam bentuk grafik

Misal R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY. Dengan demikian R adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b) R.

Contoh 1 :

Relasi R dari A = {a, b, c, d, e} ke B = {1, 2, 4} didefinisikan sebagai

berikut: R = {(a,1),(a,4),(b,2),(c,2),(c,4),(d,1)}.

 

Jawab:

Grafik R dinyatakan oleh titik-titik hitam pada grafik di atas.

Contoh 2 :

Relasi R1 , R2 dan R3 pada himpunan bilangan-bilangan riel R diberikan oleh: 2 2

a). R1 = {(x,y) /  +y0}

b). R2 = {(x,y) /+ 1}

c). R3 = {(x,y) / +16}

Jawab:

a). Grafik R1 daerah yang diarsir adalah :      

 

b). Grafik R2, daerah yang diarsir adalah :

 

c). Grafik R3 daerah yang diarsir adalah sebagai berikut :

 

 Representasi relasi dengan table

Jika relasi direpresentasikan dengan table, maka kolom pertama table menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil

Sebagai contoh :

Table 1.3

A	B
Amir	INF0422
Amir	INF0421
Budi	INF0221
Budi	INF0422
Cecep	INF0421

 
Representasi relasi dengan matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂, . . .,a_m} dan B = {b₁, b₂, . . .,b_n}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m_ij]

Yang dalam hal ini :

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika a_i dihubungkan dengan b_j dan bernilai 0 jika a_i tidak dihubungkan dengan b_j.

Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks :

yang dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = INF0221 

  Representasi relasi dengan graf berarah

Representasi dengan graph berarah (directed graph atau digraph) merupakan representasi relasi secara grafis (graph akan dibahas pada bab tersendiri). Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atau vertek), dan tiap pasangan berurutan dinyatakan dengan busur atau (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah. Dengan kata lain, jika (a,b) R, maka sebuah  busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertek) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertek).

Pasangan terurut (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam ini disebut gelang atau kalang (loop). Sebagai contoh misalnya R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d), (c,a),(c,d),(d,b)}adalah relasi pada himpunan {a,b,c,d}. R direpresentasikan dengan graf berarah pada gambar berikut :

 

Sifat-sifat dari relasi biner

1. Refleksif (reflexive)

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) R untuk setiap a  A

Contoh 1:

Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a.      R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a), yaitu (1,1),(2,2),(3,3),dan (4,4).

b.      R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} tidak bersifat reflektif karena (3,3) R   

Contoh 2 :

Relasi ”habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a,a) R untuk setiap a  A.

Ditinjau dari representasi relasi, relasi bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1,2,...,n

   

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan dengan adanya gelang pada setiap simpulnya. 

      2.  Setangkup (symmetric)

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a,b A, jika (a,b)  R, maka (b,a) R. Sebaliknya, R disebut tak setangkup(antisymmetric) jika untuk a,b  A, jika (a,b) R dan ab maka (b,a) R

Contoh 1:

Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka,

a.       R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) R maka (b,a) juga R, disini (1,2) dan (2,1) R, begitu juga (2,4) dan (4,2) R

b.      R = {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)}tidak bersifat setangkup karena (3,2) R 

Contoh 2 :

Relasi ”habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak bersifat setangkup karena jika a habis dibagi b , b tidak habis dibagi a, kecuali jika a=b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 1 tetapi 1 tidak habis membagi 2, karena itu (a,b) R tetapi (b,a) R

Ditinjau dari representasi relasi, relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau m_ij = m_ji, untuk i = 1,2,...,n

   

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3.      Menghantar (transitif)

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar bilamana (a,b)  R dan (b,c)  R, maka (a,c)  R, untuk a, b, c  A.

Contoh :                 

Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a.       R = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) }bersifat menghantar. Lihat pada table berikut :

 

 

b.       R = { (1,1), (2,3), (2,4), (4,2) } maka tidak bersifat menghantar karena (2,4) dan (4,2)  R, tetapi (2,2)  R, begitu juga (4,2) dan (2,3)  R, tetapi (4,3)  R.contoh : Relasi "habis dibagi" pada himpunan bilangan bulat positif menghantar. misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga a = mb dan b = nc. Disini a = mnc, sehingga a habis membagi c. Jadi relasi "habis membagi" bersifat menghantar. Ditinjau dari representasi relasi, relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matrik representasinya. Tetapi yang bersifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh : jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

 

Mengkombinasi Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi tersebut juga berupa relasi. Dengan kata lain, jika R₁ dan R₂           masing – masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R₁  R₂ , R₁  R₂ ,     R₁ - R_2, R₁  R₂ juga adalah relasi dari A ke B.

 

Contoh :

Misalkan A = { a, b, c } dan B = { a, b, c, d }. Relasi R₁ = { (a,a), (b,b), (c,c), dan relasi R₂ = { (a,a), (a,b), (a,c), (a,d) } adalah relasi dari A ke B. kita dapat mengkombinasikan ke dua buah relasi tersebut untuk memperoleh

R₁  R₂          = { (a,a) }

R₁  R₂             = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d) }

R₁ - R₂                 = { (b,b), (c,c) }

R₂ – R₁            = { (a,b), (a,c), (a,d) }

R₁  R₂          = { (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d) }

Jika relasi R₁ dan R₂ masing – masing dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M_R2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

M_R1R2 = M_R1R2 dan M_R1R2 = M_R1R2

Yang dalam hal ini, operator “” berarti “atau” dan “” berarti “dan”.

Contoh :

Misalkan bahwa relasi R_1­ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

 

 

dan

 

Maka matriks yang menyatakan M_R1R2 dan M_R1R2 adalah

 

 

Komposisi Relasi

Cara lain mengkombinasikan relasi adalah mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Komposisi relasi analog dengan komposisi fungsi.

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S, dinotasikan dengan R o S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

R o S = { (a,c)}│ a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a,b)  R dan (b,c)  S }

 

Contoh :

Misalkan R = { (1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8) } adalah relasi dari himpunan { 1, 2, 3 } ke himpunan { 2, 4, 6, 8 } dan S = { (2,u), (4,s), (4,t), (6,t), (8,u) } adalah relasi dari { 2, 4, 6 } ke himpunan { s, t, u }. Maka komposisi relasi R dan S adalah R o S = { (1,u), (1,t), (2,s), (2,t), (3,s), (3,t), (3,u) }

Jika relasi R₁ dan R₂ masing – masing dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M _R2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah

M_{R1 o R2} = M_R1 . M_R2

Yang dalam hal ini operator “.” Sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “” dan tanda tambah dengan “”.

Contoh :

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matrik :

 

dan

 

Maka matriks yang menyatakan R₁ o R₂ adalah

 

 

 

Sekian materi yang bisa saya sampaikan.

Untuk download materi silakan  Klik Disini

 

A

B

Amir

INF0422

Amir

INF0421

Budi

INF0221

Budi

INF0422

Cecep

INF0421