Kalkulus - Himpunan Bilangan

1. Definisi Himpunan :

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok elemen-elemen yang memiliki sifat atau karakteristik tertentu dan memenuhi syarat keanggotaan, elemen-elemen tersebut disebut anggota dari himpunan

2. Notasi-notasi yang berhubungan dengan suatu himpunan:

  {     }   Þ    untuk menyatakan sebuah himpunan

     Π     Þ    untuk menyatakan anggota himpunan 

a  Π S   Þ    a  anggota dari himpunan S

p  Ï  S   Þ    p  bukan anggota himpunan S

a, b, c    Þ    anggota himpunan S jika  S = {a, b, c} atau S = {b, a, c} atau S = {b, a, c}, dalam hal ini, urutan dari elemen-elemen himpunan tidak diperhatikan.

Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang memenuhi sifat  p ditulis dengan notasi {x ç x memenuhi sifat  p }  misalnya A adalah himpunan bilangan riil lebih besar dari 2 dapat ditulis A = { x êx riil,  x > 2  }

3. Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. Contoh :

A = { x ê x  adalah 4 bilangan genap pertama } = { 2, 4, 6, 8 }

B = { x ê 2 < x < 10 ,  x = bilangan ganjil } =  { 3, 7, 9 }   

2. Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga. Contoh :

C = { x ç x  adalah bilangan ganjil >  1 } = { 3, 7, 9, 11 ……… }   

D = { x ç x  adalah bilangan riil >  6 } = { 7, 8, 9 ……..…… }   

3. Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen. Contoh :

E = { x ê x² = 9 , x  adalah genap } = {     }   atau   f

4. Himpunan sama, yaitu himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama, walaupun urutannya berbeda. Contoh :

Jika F = { 6, 7, 8, 9  } dan G = { 9, 7, 6, 8} maka  F = G

5. Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama. Contoh :

Jika H  =  { 2, 3, 4, 5 } dan I = { h, I, j, k } maka  H ~ I karena n(H) = n(I) = 4

     6.    Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain. Contoh :

Jika J  =  { 2, 4, 6, 8 } dan K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } maka  J Ì K  ( J subset dari K ), sedangkan  K É J  ( K superset dari J ) karena K mengandung semua elemen dari J.

7. Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda. Contoh :

Jika L  = { 1, 2, 3, 4, 5  } dan M = { 15, 16, 17, 18, 19 } maka  L  | |  M

8. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan. Contoh :

Jika N  =  { a, b, c, d  } , O = { e, f, g, h } dan P = { i, j, k, l } maka himpunan semestanya S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l }

9. Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh : Jika S = { bilangan bulat positif }, Q  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan

R = {1, 3, 5, 7,...} maka himpunan komplemen dari R adalah R^c = {2, 4, 6, 8, ...} dan himpunan komplemen dari Q adalah Q^c =  { 8, 9, 10, … }

10. Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan. Contoh :

     T  =  {{2,3}, {1,0}, {0,4,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

     U  =  {{2,3},  5, 7 , {0,4,7}} ……..  Û Bukan Himpunan Keluarga

11. Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

     Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2ⁿ maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2ⁿ. Contoh :

     W =  { 2, 5 } maka himpunan bagiannya ada 2² = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2,5}, { 5  }  Ì  {2,5}, {2,5}  Ì  {2,5}, {     }  Ì  {2,5} maka himpunan kuasa W = {2,5}  adalah {{2},{5},{2,5},{  }}

File materi himpunan ini juga dapat di download disini, didalamnya juga terdapat beberapa soal-soal yang dapat  anda kerjakan dan pelajari.